設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0
(Ⅰ)設(shè)a和b分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),求上述方程沒有實根的概率;
(Ⅱ)若a是從區(qū)間(0,3)內(nèi)任取的一個數(shù),b=2,求上述方程沒有實根的概率.
分析:(Ⅰ)由題意知本題是一個古典概型,試驗發(fā)生包含的所有事件根據(jù)分步計數(shù)原理知是36,滿足條件的事件:方程無實根,則△=b2-4a<0即b2<4a,通過列舉法得到所包含的基本事件個數(shù),利用古典概型的概率公式求出值;
(Ⅱ)全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,b=2},其長度d=3,又構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,b=2,b2<4a},其長度為d′=2,由此能求出方程有實根的概率
解答:解:(1)基本事件總數(shù)為:6×6=36
若方程無實根,則△=b2-4a<0即b2<4a
若a=1,則b=1,
若a=2,則b=1,2
若a=3,則b=1,2,3
若a=4,則b=1,2,3
若a=5,則b=1,2,3,4
若a=6,則b=1,2,3,4
∴目標(biāo)事件個數(shù)為1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax2+bx+1=0沒有實根的概率為
17
36

(2)全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,b=2},其長度d=3,
又構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,b=2,b2<4a}={(a,b)|1<a≤3,b=2},其長度為d′=2,
所以P(A)=
2
3
點評:本題考查古典概率及其運算公式以及幾何概型,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.
(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有兩個實根x1,x2
(1)求(1+x1)(1+x2)的值;
(2)求證:x1<-1,且x2<-1;
(3)如果
x1
x2
∈[
1
10
,10]
,試求a的最大值.

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設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有兩個實根x1,x2
(1)求(1+x1)(1+x2)的值;
(2)求證:x1<-1且x2<-1;(3)若
x1
x2
∈[
1
10
,10]
,試求a的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的兩根為α,β(其中α<β),函數(shù)f(x)=
4x-ax2+1

(1)若a=1,求f(α)+f(β)的值;
(2)用單調(diào)性的定義證明f(x)在(α,β)上是增函數(shù).

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