已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為（
3
，0）
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點）．求k的取值范圍．
（1）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=
3
，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1．
故雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1．
（2）將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0．
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

即k2≠
1
3
且k2＜1．①
設A（xA，yA），B（xB，yB），
則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
，xAxB=
-9
1-3k2
，由
OA
•
OB
＞2得xAxB+yAyB＞2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2
)=(k2+1)xAxB+
2
k(xA+xB)+2=(k2+1)
-9
1-3k2
+
2
k
6
2
k
1-3k2
+2=
3k2+7
3k2-1
．
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
-3k2+9
3k2-1
＞0，解此不等式得
1
3
＜k2＜3．②
由①、②得
1
3
＜k2＜1．
故k的取值范圍為(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，橢圓C1右焦點到右準線的距離為
2
4
，橢圓C1的下頂點為E，過坐標原點O且與坐標軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點A、B．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）若直線EA、EB分別與橢圓C1相交于另一個交點為點P、M．
①求證：直線MP經(jīng)過一定點；
②試問：是否存在以（m，0）為圓心，
3
2
5
為半徑的圓G，使得直線PM和直線AB都與圓G相交？若存在，請求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓G：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，右焦點為（2
2
，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），點Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a，點P是線段F1Q與該橢圓的交點
（1）若點P的橫坐標為
a
2
，證明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在點Q，使得△F1QF2的面積等于b2，求橢圓離心率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1的位置關系是（　　）
A．相交B．相切C．相離D．不確定

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知拋物線方程y2=4x，過點P（1，2）的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有（　�。�
A．0條B．1條C．2條D．3條

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知圓內(nèi)接四邊形中，則四邊形的面積為           .

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同步練習冊答案