解析:求函數(shù)的無(wú)理零點(diǎn)或求方程的無(wú)理根問(wèn)題可以通過(guò)因式分解,發(fā)現(xiàn)其有理根,然后轉(zhuǎn)化為求另一函數(shù)的無(wú)理零點(diǎn)的問(wèn)題,再利用二分法求其零點(diǎn)的近似值.
解:因?yàn)閤5-x3-5x2+5=x3(x2-1)-5(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-5),
所以已知函數(shù)的零點(diǎn)是-1,1,,其中x=是它的一個(gè)無(wú)理零點(diǎn).
不妨設(shè)g(x)=x3-5,由于g(1)=-4<0,g(2)=3>0,可取區(qū)間[1,2]作為計(jì)算的初始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算,列表如下:
端點(diǎn)(中點(diǎn))坐標(biāo) | 計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值 | 取區(qū)間 |
g(1)<0 | g(2)>0 | [1,2] |
x1==1.5 | g(x1)=-1.625<0 | [1.5,2] |
x2==1.75 | g(x2)=0.359 4>0 | [1.5,1.75] |
x3==1.625 | g(x3)=-0.709 0<0 | [1.625,1.75] |
x4==1.687 5 | g(x4)=-0.194 6<0 | [1.687 5,1.75] |
x5==1.718 8 | g(x5)=0.077 4>0 | [1.687 5,1.718 8] |
x6==1.703 2 | g(x6)=-0.059 6<0 | [1.703 2,1.718 8] |
x7==1.711 | g(x7)=0.010>0 | [1.703 2,1.711] |
x8==1.714 9 | g(x8)=0.043 3>0 |
|
由上表計(jì)算可知,區(qū)間[1.703 2,1.711]的長(zhǎng)度小于0.01,所以該區(qū)間的中點(diǎn)x8≈1.71,即為函數(shù)f(x)=x3-5的一個(gè)無(wú)理零點(diǎn)近似值.
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