Question

在三棱柱中,已知,在在底面的投影是線段的中點(diǎn)。

（1）求點(diǎn)C到平面的距離；

(2)求二面角的余弦值;

(3)若M,N分別為直線上動點(diǎn),求MN的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

(3)異面直線的距離即為MN的最小值

【解析】

試題分析：解:（1）連接AO, 因為平面ABC,所以,因為,

得,在中,

在中，則又

設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為

則由得，從而……4分

(2)如圖所示,分別以所在的直線 為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,0), C(0,-2,0), A₁(0.0,2),B(0,2,0), ，.

設(shè)平面的法向量,

又

由,得,

令,得,即。 

設(shè)平面的法向量, 又

由,得,令,得,即。 

所以 ，……7分

由圖形觀察可知，二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值是. ……9分

(3)方法1.在中,作于點(diǎn)E,因為,得.

因為平面ABC,所以,因為,

得,所以平面,所以,

所以平面.從而

在中,為異面直線的距離，即為MN的最小值。……14分

方法2.設(shè)向量,且

令,得,即。

所以異面直線的距離即為MN的最小值。……14分

考點(diǎn)：空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是熟練的根據(jù)空間中的線面垂直性質(zhì)定理以及二面角的平面角的定義和異面直線距離的求解得到，屬于基礎(chǔ)題。