為迎接山東省第23屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在濟(jì)寧召開,濟(jì)寧市加快了城市建設(shè)改造的步伐.在太白路升級(jí)改造工程中,欲在京杭大運(yùn)河上新建一座跨河大橋,最兩端的兩橋墩相距m米.經(jīng)測算,一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元,距離為工米的相鄰兩橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+x)x萬元,假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素,記工程的總費(fèi)用為:y萬元.
(I )試寫出y關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式;
(II)當(dāng)m=320米時(shí),需建多少個(gè)橋墩才能使得工程總費(fèi)用y最小,最小費(fèi)用為多少萬元?
分析:(I)設(shè)出建n個(gè)橋墩,則求出橋墩數(shù)與相鄰兩橋墩之間距離x的關(guān)系,所有橋墩的工程費(fèi)為256n,橋面工程費(fèi)用
為(n-1)(2+x)x;兩項(xiàng)費(fèi)用加起來為工程的總費(fèi)用y
(II)將m的值代入y的解析式,化簡解析式;利用基本不等式求出最小值,檢驗(yàn)等號(hào)何時(shí)取得.
解答:解:(I)設(shè)需建n個(gè)橋墩,則(n-1)x=m即n=
m
x
+1

所以y=f(x)=256n+(n-1)(2+x)x
=256(
m
x
+1)+
m
x
(2+x)x

=
256m
x
+mx+2m+256(0<x<m)

(II)由(I)知,y=m(
256
x
+x)+2m+256

≥32m+2m+256
=34m+256
=34×320+256=11136
當(dāng)且僅當(dāng)
256
x
=x即x=16
時(shí)取等號(hào),
所以f(x)在x=16時(shí)取得最小值.此時(shí),n=
m
x
+1=
320
16
+1=21

故需要建21個(gè)橋墩才能使工程費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為11136萬元.
點(diǎn)評(píng):本題考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值要注意滿足的條件:一正、二定、
三相等.
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