Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2

2

，側(cè)棱長為4．
（1）求證：平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）求D₁到面AB₁C的距離；
（3）求三棱錐D₁-ACB₁的體積V．

Answer 1

分析：（1）由BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B?AC⊥平面BDD₁B₁?平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）設(shè)AC、BD交與點O，連接B₁O．點D₁作D₁H⊥B₁O，則D₁H即為所求D₁到面AB₁C的距離；
（3）利用（2）找到的高，再求出底面面積，代入體積計算公式即可．

解答：（1）證明：∵BD⊥AC，BB₁⊥AC，BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BDD₁B₁，
又因為AC?平面B₁EF，所以平面AB₁C⊥平面BDD₁B₁；
（2）解：連接AC、BD交與點O，連接B₁O．
過點D₁作D₁H⊥B₁O，則D₁H即為所求．
在△B₁D₁O中，由正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面邊長為2

2

，側(cè)棱長為4．
可得D₁O=B₁O=

DD2+DO2

=

20

=2

5

，B₁D₁=4
∴cos∠D₁B₁O=

42+( 20 ) 2-( 20 )2

2×4× 20

=

20

10

，
∴

B1H

B1D1

=

20

10

=

2 5

5

?B₁H=

2 20

5

?D1H=

8

5

5

．
即D₁到面AB₁C的距離為

8 5

5

．
（3）解：V=

1

3

S△AB1C•D1H=

1

3

•

1

2

•4•2

5

•

8

5

5

=

32

3

．
所以三棱錐D₁-ACB₁的體積為

32

3

．

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及點到面的距離和三棱錐的體積計算公式．是對立體幾何知識的綜合考查．