Question

已知橢圓C方程為

x2

a2

+y2=1，過(guò)右焦點(diǎn)斜率為1的直線到原點(diǎn)的距離為

2

2

．
（1）求橢圓方程．
（2）已知A，B方程為橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，T為橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，l為點(diǎn)B且垂直x軸的直線，點(diǎn)S為直線AT與直線l的交點(diǎn)，點(diǎn)M為以SB為直徑的圓與直線TB的另一個(gè)交點(diǎn)，求證：O，M，S三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析：（1）寫出過(guò)右焦點(diǎn)斜率為1的直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到該直線的距離由距離等于

2

2

求出c的值，則a可求，所以橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線AT的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到T點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量

BT

的坐標(biāo)，由AT方程和直線x=

2

得到S的坐標(biāo)，因?yàn)?span id="z33tljj" class="MathJye">

SO

•

BT

=0，而B(niǎo)T⊥SM，所以得到O，M，S三點(diǎn)共線．

解答：解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為（c，0），則過(guò)右焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為：y=x-c
則原點(diǎn)到直線的距離d=

|c|

2

=

2

2

∴c=1，a=

2

∴方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)直線AT方程為：y=k（x+

2

）（k＞0），設(shè)點(diǎn)T（x₁，y₁），
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x+ 2 )

，得(1+2k2)x2+4

2

k2x+4k2-2=0．
∵x1x2=

4k2-2

1+2k2

，又∵A（-

2

，0），
∴x1=

2 -2 2 k2

1+2k2

，y1=

2 2 k

1+2k2

．
又∵B（

2

，0），∴

BT

=(

-4 2 k2

1+2k2

，

2 2 k

1+2k2

)．
由圓的性質(zhì)得：BT⊥SM，
所以，要證明O，M，S三點(diǎn)共線，只要證明BT⊥SO即可．
又∵S點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

2

，
∴S點(diǎn)的坐標(biāo)為(

2

，2

2

k)．
∴

SO

=(-

2

，-2

2

k)．
∴

SO

•

BT

=

8k2-8k2

1+2k2

=0．
即BT⊥SO，又∵BT⊥SM，
∴O，M，S三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用平面向量解決有關(guān)問(wèn)題，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，是難題．