Question

設(shè)△ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，a=2bsinA．
（1）求角B的大��；
（2）求cosA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理可得sinB的值，從而可求得角B的大�。�
（2）由B=

π

6

，可知A+C=

5π

6

，將cosA+sinC轉(zhuǎn)化為cosA+sin（

5π

6

-A），在利用三角函數(shù)間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的同角同名函數(shù)即可．

解答：解：（1）由正弦定理得：a=2bsinA?sinA=2sinBsinA，
∵A為銳角，故sinA≠0，
∴sinB=

1

2

，而B(niǎo)為銳角，
∴B=

π

6

．
（2）∵B=

π

6

，
∴A+C=

5π

6

，
∴cosA+sinC=
cosA+sin（

5π

6

-A）
=cosA+sin

5π

6

cosA-cos

5π

6

sinA
=

3

2

cosA+

3

2

sinA
=

3

sin（A+

π

3

）．
∵△ABC是銳角三角形，A+C=

5π

6

，
∴0＜C=

5π

6

-A＜

π

2

，
∴

π

3

＜A＜

π

2

，
∴

2π

3

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

3

）＜

3

2

．
∴

3

2

＜

3

sin（A+

π

3

）＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，求得角B的大小是基礎(chǔ)，利用A+C=

5π

6

轉(zhuǎn)化為單角的三角函數(shù)式是關(guān)鍵，屬于中檔題．