Question

已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上每一點處均可導(dǎo)的函數(shù)，若xf '（x）＞f（x）在
（0，+∞）上恒成立．
（Ⅰ）①求證：函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時，證明：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（Ⅱ）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞﹣1且x≠0時恒成立，求證：…．

Answer 1

解（Ⅰ）①∵，∴
∵xf '（x）＞f（x），∴g '（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
從而有在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②由①知在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時，有，
于是有：，
兩式相加得：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）
（Ⅱ）由（Ⅰ）②可知：f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂），（x₁＞0，x₂＞0）恒成立
由數(shù)學(xué)歸納法可知：x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時，
有：f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…x_n）（n≥2）恒成立
設(shè)f（x）=xlnx，則x_i＞0（i=1，2，3，…，n）時，
x₁lnx₁+x₂lnx₂+…+x_nlnx_n＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）（n≥2）（*）恒成立
令，記
又，
又，且ln（x+1）＜x
∴（x₁+x₂+…+x_n）ln（x₁+x₂+…+x_n）＜（x₁+x₂+…+x_n）ln（1﹣）
＜﹣（x₁+x₂+…+x_n）＜﹣（﹣）=﹣  （**）
將（**）代入（*）中，可知：﹣（）
于是