Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，
（1）求k的值；
（2）在（1）的條件下判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并運(yùn)用單調(diào)性的定義予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義，我們可構(gòu)造一個關(guān)于k的方程，解方程即可得到答案．但由于對數(shù)要求真數(shù)部分大于0，故還要對k值進(jìn)行判斷，以去除增根．
（2）利用定義法（作差法），任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，確定f（x₁）-f（x₂）的符號，即可根據(jù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論．
解答：解：（1）f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）．
由f（-x）=-f（x）⇒1-k²x²=1-x²?k²=1?k=1或k=-1．（2分）
當(dāng)k=1時，，這與題設(shè)矛盾，
當(dāng)k=-1時，為奇函數(shù)，滿足題設(shè)條件．（4分）
（2）在（1）的條件下，在（1，+∞）上是減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則=，（6分）
∵x₂＞x₁＞1∴x₁x₂-x₁+x₂-1＞x₁x₂-x₂+x₁-1＞0，
即，（7分）
又a＞1，∴f（x₁）-f（x₂）＞log_a1=0
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．（8分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是奇函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，是必須一難點(diǎn)的集中考查，熟練掌握函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．