已知f(x)滿足數(shù)學公式其中a>0且a≠1.
(1)對于x∈(-1,1)時,試判斷f(x)的單調性,并求當f(1-m)+f(1-m2)<0時,求m的值的集合.
(2)當x∈(-∞,2)時,f(x)-4的值恒為負數(shù),求a的取值范圍.

解:(1)令logax=t,則x=at,所以,即
當a>1時,因為ax-a-x為增函數(shù),且>0,所以f(x)在(-1,1)上為增函數(shù);
當0<a<1時,因為ax-a-x為減函數(shù),且<0,所以f(x)在(-1,1)上為增函數(shù);
綜上所述,f(x)在(-1,1)上為增函數(shù).
又因為f(-x)==-f(x),故f(x)為奇函數(shù).
所以f(1-m)+f(1-m2)<0?f(1-m)<-f(1-m2)?f(1-m)<f(m2-1)
由f(x)在(-1,1)上為增函數(shù),可得
解得1<m<,即m的值的集合為{m|1<m<}
(2)由(1)可知,f(x)為增函數(shù),故x∈(-∞,2)時,f(x)-4的值恒為負數(shù)
只要f(2)-4≤0即可,即f(2)==<4
解得
又a≠1,可得符合條件的a的取值范圍是
分析:(1)首先由換元法求出f(x)的解析式,由定義判斷函數(shù)的單調性和奇偶性,應用函數(shù)的奇偶性將已知不等式轉化為f(1-m)<f(m2-1),再利用單調性轉化為求解即可.
(2)由(1)中的單調性可直接轉化為f(2)-4≤0,解不等式即可.
點評:本題考查函數(shù)單調性、奇偶性的判斷和應用:解不等式,綜合性較強.
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aa2-1
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a
a2-1
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