Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，設(shè)f(x)=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）方程f(|2x-1|)+k(

2

|2x-1|

-3)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0）在[2，3]上為增函數(shù)，可得

g(3)=4 g(2)=1

，從而可求得a、b的值；
（Ⅱ）f（x）-kx≥0在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立⇒k≤1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2（x＞0）恒成立，從而可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0⇒|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，（|2^x-1|≠0），令|2^x-1|=t，則t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構(gòu)造函數(shù)φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），通過數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想即可求得k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）g（x）=a（x-1）²+1+b-a（a＞0），
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，
故

g(3)=4 g(2)=1

，即

9a-6a+1+b=4 4a-4a+1+b=1

，解得

a=1 b=0

------（5分）
（Ⅱ）f（x）-kx≥0化為：x+

1

x

-2≥kx，
∵x＞0，
∴1+

1

x2

-

2

x

≥k，
∵1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2≥0（當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
∴k≤0．----（10分）
（Ⅲ）方程f（|2^x-1|）+k（

2

|2x-1|

-3）=0可化為：
|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+（1+2k）=0，|2^x-1|≠0，
令|2^x-1|=t，則方程化為
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），
∵方程|2^x-1|+

1+2k

|2x-1|

-（2+3k）=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴由t=|2^x-1|的圖象知，
t²-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有兩個(gè)根t₁、t₂，
且0＜t₁＜1＜t₂或0＜t₁＜1，t₂=1．
記φ（t）=t²-（2+3k）t+（1+2k），
則

φ(0)=1+2k＞0 φ(1)=-k＜0

或 

φ(0)=1+2k＞0 φ(1)=-k＜0 0＜ 2+3k 2 ＜1

∴k＞0------（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查函數(shù)恒成立問題問題，考查數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．