精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=
12
AB,E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EC∥平面PAD;
(Ⅱ)求證:BD⊥平面PAD.
分析:(Ⅰ)設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF、DF,欲證EC∥平面PAD,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EC與平面PAD內(nèi)一直線平行,而根據(jù)條件可知四邊形FECD是平行四邊形則CE∥DF,滿足定理?xiàng)l件,則EC∥平面PAD;
(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)H,連接PH,根據(jù)PA=PD,所以PH⊥AD,又根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD,從而PH⊥平面ADCB,則PH⊥BD,取AB的中點(diǎn)為G,連接DG,欲證BD⊥平面PAD,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面PAD內(nèi)兩相交直線垂直,而AD⊥BD,PH⊥BD,AD∩PH=H,滿足定理所需條件.
解答:精英家教網(wǎng)證明:(Ⅰ)設(shè)PA的中點(diǎn)為F,連接EF、DF,
因?yàn)镋是PB的中點(diǎn),所以EF∥AB且EF=
1
2
AB
(3分)
由已知∠ABC=∠BCD=90°,
所以CD∥AB(4分)
又∵DC=
1
2
AB
,
∴四邊形FECD是平行四邊形,CE∥DF(6分)
而FD在平面APD內(nèi)
所以EC∥平面PAD(7分)
(Ⅱ)取AD的中點(diǎn)H,連接PH,因?yàn)镻A=PD,所以PH⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD,∴PH⊥平面ADCB
∴PH⊥BD①(10分)
取AB的中點(diǎn)為G,連接DG
由題意易知是DGBC正四邊形,∠GBD=∠BDG=45°AG=GD,∠GAD=∠ADG=45°
所以∠ADB=90°,AD⊥BD②(13分)
由①②可知BD⊥平面PAD(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面平行的判定,以及直線與平面垂直的判定,應(yīng)熟練記憶直線與平面平行的判定定理和直線與平面垂直的判定定理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點(diǎn)A在PD上的射影為點(diǎn)G,點(diǎn)E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長(zhǎng);
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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