Question

已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線的焦點(diǎn)為F（2，0），直線l過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l的斜率為2，求弦長(zhǎng)|AB|；
（3）求證：

1

|AF|

+

1

|BF|

為定值．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，（p＞0）．由于焦點(diǎn)為F（2，0），可得

p

2

=2，解得p即可．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于直線l的斜率為2且過(guò)焦點(diǎn)F（2，0），可得直線l的方程為y=2（x-2），與拋物線方程聯(lián)立可得x²-6x+4=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式即可得出．
（3）利用|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2，及根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px，（p＞0）．
∵焦點(diǎn)為F（2，0），∴

p

2

=2，解得p=4．
∴y²=8x．
（2）∵直線l的斜率為2且過(guò)焦點(diǎn)F（2，0），
∴直線l的方程為y=2（x-2），即y=2x-4．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=2x-4 y2=8x

，化為x²-6x+4=0．
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4．
∴|AB|=

(1+22)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(62-4×4)

=10．
（3）證明：∵|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+2

+

1

x2+2

=

x1+x2+4

x1x2+2(x1+x2)+4

=

6+4

4+2×6+4

=

1

2

，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、焦點(diǎn)弦問(wèn)題、弦長(zhǎng)公式、求定值問(wèn)題，屬于中檔題．