Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)，求出f'（x）=0的兩個根，然后比較大小，確定a的范圍，最后根據(jù)f'（x）＞0的解集為增區(qū)間，f'（x）＜0的解集為減區(qū)間；
（II）要使函數(shù)f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，即使函數(shù)f（x）在[1，2]上不是單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)（I）可求出a的范圍．
解答：解：（I）函數(shù)y=f（x）的定義域為：（0，+∞）
因為f（x）=x²-（2a+1）x+alnx（a＞0）
所以f'（x）=2x-（2a+1）+=
令f'（x）=0則，x₂=a
（i）當0＜a＜時，由f'（x）＞0得x∈（0，a），（，+∞）
由f'（x）＜0得，x∈（a，）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（a，）
（ii）a=時，f'（x）≥0
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）
（iii）當a＞時由f'（x）＞0得x∈（0，），（a，+∞）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，），（a，+∞）
由f'（x）＜0得x∈（，a）
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（，a）
（II）要使函數(shù)f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，即
函數(shù)f（x）在[1，2]上不是單調(diào)遞減函數(shù)．
由（I）可知，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減時，a∈[2，+∞）
所以a∈（0，2）時，函數(shù)f（x）在[1，2]上不是單調(diào)遞減函數(shù)．
所以函數(shù)f（x）在[1，2]上總存在x₁，x₂，使得（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0成立，
實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．
點評：本題主要考查了函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立問題，同時考查了分析問題，解決問題的能力，屬于中檔題．