Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{ax}{x-1}$
（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)所有的a≥$\frac{1}{2}$，m∈（0，1），n∈（1，+∞），求f（n）-f（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可；
（2）求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，得到x₁x₂=1，x₁+x₂=a+2，x₂-x₁=$\sqrt{{a}^{2}+4a}$以及x₁，x₂，代入f（n）-f（m）的表達(dá)式即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，
由題意得x²-（a+2）x+1=0在x＞0且x≠1有2個(gè)不同實(shí)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}＞0}\\{{（a+2）}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$且1-（a+2）+1≠0
解得：a＞0；
（2）由于1-（a+2）+1=-a＜0，
∴由（1）可得g（x）=x²-（a+2）x+1在（0，1），（1，+∞）各有1個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為x₁，x₂，且函數(shù)f（x）在（0，x₁）遞增，在（x₁，1）遞減，在（1，x₂）遞減，在（x₂，+∞）遞增，
∴f（n）-f（m）≥f（x₂）-f（x₁）=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+a$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}-{（x}_{1}{+x}_{2}）+1}$，
∵x²-（a+2）x+1=0的兩個(gè)根是x₁，x₂，
∴x₁x₂=1，x₁+x₂=a+2，x₂-x₁=$\sqrt{{a}^{2}+4a}$，
x₁=$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，x₂=$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
代入得：ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+a$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}-{（x}_{1}{+x}_{2}）+1}$=ln$\frac{{（a+2+\sqrt{{a}^{2}+4a}）}^{2}}{4}$+$\sqrt{{a}^{2}+4a}$，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)取最小值ln4+$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．