Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)為a，底面ABCD是邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面BCE⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面BDE的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)為a，
底面ABCD是邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點(diǎn)，
∴B（a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，a，a），D（0，0，0），
，，，
設(shè)平面BDE的法向量為=（x₁，y₁，z₁），
則，，
∴，
∴=（2，-1，1）．
設(shè)平面BCE的法向量為，
則，，
∴，
∴，
∵=0-1+1=0，
∴平面BCE⊥平面BDE．
（Ⅱ）設(shè)二面角E-BD-C的平面角為θ，
∵平面EBD的法向量=（2，-1，1），平面BDC的法向量=（0，0，1），
∴cosθ=|cos＜＞|
=||=．
∴二面角E-BD-C的大小為arccos．
（Ⅲ）∵平面BDE的法向量=（2，-1，1），，
∴點(diǎn)C到平面BDE的距離d===．
分析：（Ⅰ）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁的長(zhǎng)為a，底面ABCD是邊長(zhǎng)AB=2a，BC=a的矩形，E為C₁D₁的中點(diǎn)，知，，，求出平面BDE的法向量為=（2，-1，1）．設(shè)平面BCE的法向量，利用向量法能夠證明平面BCE⊥平面BDE．
（Ⅱ）設(shè)二面角E-BD-C的平面角為θ，由平面EBD的法向量=（2，-1，1），平面BDC的法向量=（0，0，1），利用向量法能夠求出二面角E-BD-C的大�。�
（Ⅲ）由平面BDE的法向量=（2，-1，1），，利用向量法能夠求出點(diǎn)C到平面BDE的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查點(diǎn)到平面的距離，解題時(shí)要認(rèn)真審題，合理地建立空間直角坐標(biāo)系，注意向量法的合理運(yùn)用．