【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時,f(x)≥0,求a的取值范圍.
【答案】(1)f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)a的取值范圍為.
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間,(2)當(dāng)自變量大于零時分離變量: ,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性確定最值取法,利用洛必達(dá)法則求函數(shù)最小值,即得a的取值范圍
試題解析:(1)當(dāng)a=0時,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.
當(dāng)x∈(-∞,0)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,f'(x)>0.
故f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(2)f'(x)=ex-1-2ax.
由(1)知f(x)≥f(0),即ex≥1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.
當(dāng)a≤時,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
因為f(0)=0,于是當(dāng)x≥0時,f(x)≥0.符合題意.
當(dāng)a>時,由ex>1+x(x≠0)可得e-x>1-x(x≠0).
所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故當(dāng)x∈(0,ln 2a)時,f'(x)<0,而f(0)=0,于是當(dāng)x∈(0,ln 2a)時,f(x)<0.不符合題意.
綜上可得a的取值范圍為.
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【題目】橢圓()的左、右焦點分別為,,過作垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點,若,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ),是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點.若直線過點,且,求直線的方程.
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【題目】以原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為:,在平面直角坐標(biāo)系中,直線的方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線交曲線于,兩點,求,兩點的距離.
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【題目】已知向量,,.
()求函數(shù)的單增區(qū)間.
()若,求值.
()在中,角,,的對邊分別是,,.且滿足,求函數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為,、分別為橢圓的左、右頂點,點滿足.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過點且與交于不同的兩點、,試問:在軸上是否存在點,使得直線 與直線的斜率的和為定值?若存在,請求出點的坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)(-1, 0)是橢圓的左焦點,過點F且方向向量為的光線,經(jīng)直線反射后通過左頂點D.
(I)求橢圓的方程;
(II)過點F作斜率為的直線交橢圓于A, B兩點,M為AB的中點,直線OM (0為原點)與直線交于點P,若滿足,求的值.
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【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若時,對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】已知橢圓: ()經(jīng)過點,且兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線: (, )交橢圓于、兩點,試問:在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恒過點.若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】對于函數(shù),下列說法正確的有( )
①在處取得極大值;②有兩個不同的零點;
③;④若在上恒成立,則.
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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