Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點滿足

PE

=

1

3

PD

．
（1）證明：PA⊥平面ABCD．
（2）在線段BC上是否存在點F，使得PF∥平面EAC？若存在，確定點F的位置，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證PA⊥平面ABCD．只要證PA垂直于平面ABCD倍的兩條相交直線即可．
由PB⊥BC，AB⊥BC可得BC⊥面PAB，所以BC⊥PA，同理可得CD⊥PA，命題可證．
（2）由線面平行的判定定理，只要找線線平行即可，結合E為AD上的三等分點，由平面幾何平行線分線段成比例找點F即可．

解答：證明：（1）

AB⊥BC PB⊥BC

?BC⊥平面PAB?BC⊥PA，
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD．
（2）當F為BC中點時，PF∥平面EAC，理由如下：設AC，F(xiàn)D交于點S
因為AD∥FC所以

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

又因為

PE

ED

=

1

2

所以PF∥ES
因為PF?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF∥平面EAC．

點評：本題考查空間的線面位置關系，考查空間想象能力和邏輯推理能力．