Question

（2013•黃岡模擬）如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已 知平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1
（I）求證：BD丄AA₁；
（II）若四邊形ACC₁A₁是菱形，且∠A₁AC=60°，求四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的體積．

Answer 1

分析：（I）利用垂直平分線的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得到BD⊥平面AA₁C₁C，利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；
（II）過點(diǎn)A₁作A₁E丄AC于點(diǎn)E，即A₁E為四棱柱的一條高．又由四邊形AA₁C₁C是菱形，則得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為h=

3

2

，再由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面面積為

3

，即可得到四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答：解：（Ⅰ）在四邊形ABCD中，∵BA=BC，DA=DC，∴BD⊥AC．   
又∵平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
∴BD丄平面AA₁C₁C． 
又∵AA₁?平面AA₁C₁C，
∴BD丄AA₁；
（Ⅱ）過點(diǎn)A₁作A₁E丄AC于點(diǎn)E，
∵平面AA₁C₁C丄平面ABCD，
∴A₁E丄平面ABCD，
即A₁E為四棱柱的一條高．       
又∵四邊形AA₁C₁C是菱形，且∠A₁AC=60°，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高為h=A₁E=

3

sin60°=

3

2

         
又∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面面積SABCD=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×

3

×(

1

2

+

3

2

)=

3

，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V=

3

×

3

2

=

3 3

2

．

點(diǎn)評：熟練掌握垂直平分線的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、直角△OCD的邊角關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)、線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．