Question

1．如圖，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=$\frac{π}{3}$，E為棱AD的中點(diǎn)．
（1）證明：AD⊥BC；
（2）求四面體A-BED的體積．

Answer 1

分析 （1）BC的中點(diǎn)F，連接AF，DF，證明BC⊥平面ADF，即可證明AD⊥BC；
（2）利用兩個(gè)三棱錐的體積差，即可求四面體A-BED的體積．

解答 （1）證明：取BC的中點(diǎn)F，連接AF，DF，則
∵AB=BC，∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AF⊥BC，
∵BC=BD=2，∠DBC=$\frac{π}{3}$，
∴△DBC是等邊三角形，
∴DF⊥BC，
∵AF∩DF=F，
∴BC⊥平面ADF，
∵AD?平面ADF，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AF⊥平面BCD
∵AF=$\sqrt{3}$
∴四面體A-BED的體積=V_A-BCD-V_E-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．