Question

（2008•南京二模）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

2

AA1，點D為A₁C₁的中點．
求證：
（1）BC₁∥平面AB₁D；
（2）A₁C⊥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁=O，連結(jié)OD．利用三角形中位線定理證出OD∥BC₁，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出BC₁∥平面AB₁D；
（2）利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證出B₁D⊥平面AA₁C₁C，從而得到B₁D⊥A₁C．矩形AA₁C₁C中，根據(jù)AC=

2

AA1利用直角三角形相似證出A₁C⊥AD，最后利用線面垂直判定定理即可證出A₁C⊥平面AB₁D．

解答：解：（1）連結(jié)A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁=O，連結(jié)OD
∵△A₁BC₁中，A₁D=DC₁，A₁O=OB
∴OD∥BC₁
∵OD?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D；
（2）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∵B₁D?平面A₁B₁C₁，∴B₁D⊥AA₁，
∵B₁D是正三角形A₁B₁C₁的中線，可得B₁D⊥A₁C₁
∴結(jié)合AA₁∩A₁C₁=A₁，得B₁D⊥平面AA₁C₁C
∵A₁C?平面AA₁C₁C，∴B₁D⊥A₁C，
∵AB=

2

AA1，∴

A1D

AA1

=

AA1

AC

=

2

2

∵∠DA₁A=∠A₁AC=Rt∠
∴△DA₁A∽△A₁AC，可得∠ADA₁=∠CA₁A=90°-∠DA₁C
因此，∠ADA₁+∠DA₁C=90°，從而A₁C⊥AD
∵B₁D、AD是平面AB₁D內(nèi)的相交直線，
∴A₁C⊥平面AB₁D．

點評：本題在特殊正三棱柱中證明線面平行和線面垂直，著重考查了線面平行判定定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和正三棱柱的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．