Question

已知拋物線x²=4y的焦點是橢圓　　C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一個頂點，橢圓C的離心率為

3

2

，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點，半徑為

a2+b2

．
（1）求橢圓C和圓O的方程；
（2）已知M（x₀，y₀）是圓O上任意一點，過M點作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（1）確定拋物線焦點坐標(biāo)，可得b的值，利用橢圓C的離心率為

3

2

，另有一圓O圓心在坐標(biāo)原點，半徑為

a2+b2

，即可求橢圓C和圓O的方程；
（2）分類討論，利用韋達(dá)定理，計算斜率的積為-1，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：由x²=4y可得拋物線焦點坐標(biāo)為（0，1），∴b=1，
又∵e=

3

2

，∴

c2

a2

=

3

4

，∵a2=b2+c2，∴a²=4，
∴

a2+b2

=

5

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，圓O的方程為x²+y²=5
（2）證明：若點M的坐標(biāo)為（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），則過這四點分別作滿足條件的直線l₁，l₂，若一條直線斜率為0，則另一條斜率不存在，則l₁⊥l₂
若直線l₁，l₂斜率都存在，則設(shè)過M與橢圓只有一個公共點的直線方程為y-y₀=k（x-x₀），
由

y=kx+(y0-kx0) x2 4 +y2=1

得x2+4[kx+(y0-kx0)]2=4
即(1+4k2)x2+8k(y0-kx0)•x+4(y0-kx0)2-4=0
則△=[8k(y0-kx0)]2-4(1+4k2)[4(y0-kx0)2-4]=0
化簡得(4-

x

2 0

)k2+2x0y0k+1-

y

2 0

=0
又

x

2 0

+

y

2 0

=5，
∴(4-

x

2 0

)k2+2x0y0k+

x

2 0

-4=0
設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別為k₁，k₂，因為l₁，l₂與橢圓都只有一個公共點，
所以k₁，k₂滿足(4-

x

2 0

)k2+2x0y0k+

x

2 0

-4=0，
∴k1•k2=

x 2 0 -4

4- x 2 0

=-1，
∴l(xiāng)₁⊥l₂

點評：本題考查橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．