設(shè)任意實(shí)數(shù)x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立，則k的最大值是
9
9
．
分析：先利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后令a=lgx0-lgx1，b=lgx1-lgx2，c=lgx2-lgx3，將題目轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問題，最后利用柯西不等式求出最值即可求出所求．
解答：解：要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立
即使
lg1993
lgx0-lgx1
+
lg1993
lgx1-lgx2
+
lg1993
lgx2-lgx3
≥k•
lg1993
lgx0-lgx3
恒成立
令a=lgx0-lgx1，b=lgx1-lgx2，c=lgx2-lgx3，而x0＞x1＞x2＞x3＞0
∴a＞0，b＞0，c＞0
即使得
1
a
+
1
b
+
1
c
≥k•
1
a+b+c
（a＞0，b＞0，c＞0）恒成立
即k≤（
1
a
+
1
b
+
1
c
）（a+b+c）的最小值
根據(jù)柯西不等式可知（
1
a
+
1
b
+
1
c
）（a+b+c）≥（
1
a
×
a
+
1
b
×
b
+
1
c
×
c
）2=（1+1+1）2=9
∴k的最大值是9
故答案為：9
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及柯西不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)=
1
x2+a
．
（Ⅰ）證明：存在唯一實(shí)數(shù)x0∈(0，
1
a
)，使f（x0）=x0；
（Ⅱ）定義數(shù)列{xn}：x1=0，xn+1=f（xn），n∈N*．
（i）求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有x2n-1＜x0＜x2n；
（ii） 當(dāng)a=2時(shí)，若0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，證明：對(duì)任意m∈N*都有：|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
k
x
，k∈R
（1）若k=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥2+
1-e
x
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=xf（x）-k，若對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2滿足0＜x1＜x2，總存在g′（x0）=
g(x1)-g(x2)
x1-x2
成立，證明x0＞x1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：中學(xué)教材標(biāo)準(zhǔn)學(xué)案　數(shù)學(xué)　高二上冊(cè) 題型：044

解答題

設(shè)任意實(shí)數(shù)x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使＋＋＞k恒成立，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

設(shè)任意實(shí)數(shù)x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立，則k的最大值是______．

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同步練習(xí)冊(cè)答案