Question

（2004•黃浦區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=k+

x

，存在區(qū)間[a，b]⊆[0，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及f（x）在[a，b]上的值域仍是[a，b]建立等式關(guān)系，從而可知

a

、

b

是方程t²-t-k=0的兩個(gè)不相等的非負(fù)實(shí)根，然后建立關(guān)系式即可．

解答：解：函數(shù)f(x)=k+

x

在[0，+∞）上為增函數(shù)（2分）
f（x）在[a，b]（⊆[0，+∞））上的值域?yàn)閇a，b]，其充要條件是

f(a)=a f(b)=b b＞a≥0

?

a- a -k=0 b- b -k=0 b＞a≥0

?b＞a≥0，

a

、

b

是方程t²-t-k=0的兩個(gè)不相等的非負(fù)實(shí)根．（5分）
故存在[a，b]（⊆[0，+∞）），使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]的充要條件
是

-k≥0 △=1+4k＞0

?-

1

4

＜k≤0（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及函數(shù)的單調(diào)性和充要條件的理解，屬于中檔題．