Question

（本小題滿分12分）己知函數(shù)

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）設，若對任意不相等的正數(shù)，恒有，求a的取值范圍.

Answer 1

（1）當時， 在單調(diào)遞增；當時， 在單調(diào)遞減；

當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）

【解析】

試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．

（2）根據(jù)第一問的單調(diào)性先對進行化簡整理，轉(zhuǎn)化成研究在（0，+∞）單調(diào)減函數(shù)，再利用參數(shù)分離法求出a的范圍．

試題解析： （1）的定義域為.

當時，，故在單調(diào)遞增

當時，，故在單調(diào)遞減；

當時，令，解得

即時，；時，；

故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 6分

（2）不妨設，而，由（1）知在單調(diào)遞減，從而對任意，恒有

8分

令，則

原不等式等價于在單調(diào)遞減，即，

從而，

故的取值范圍為 .12分

（如果考生將視為斜率，利用數(shù)形結(jié)合得到正確結(jié)果的，則總得分不超過8分）

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.