Question

在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

（其中a、b、r是常數(shù)，且r＞0），求證：（x-a）²+（y-b）²=r²．
（2）若點(diǎn)A（2，4），M（2^x-1，2^2y-1），N（4^y，2^x），

OP

•

AP

=-1，求u=

ON

•

OM

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由sin²θ+cos²θ=1 消去θ，即得 要證的等式．
（2）由

OP

•

AP

=-1，可得  （x-1）²+（y-2）²=4，又u=

ON

•

OM

=2^x+2y ，根據(jù)
x+2y=5+2

5

 sin（θ+∅），求出x+2y的范圍，即可得到u的取值范圍．

解答：解：（1）由sin²θ+cos²θ=1 消去θ即得 （x-a）²+（y-b）²=r²．
（2）由

OP

•

AP

=-1，可得 x（x-2）+y（y-4）=-1，∴（x-1）²+（y-2）²=4．
令x=1+2cosθ，y=2+2sinθ，又u=

ON

•

OM

=2^x-1•4^y +2^2y-1•2^x =2^x+2y ，
又x+2y=5+2cosθ+4sinθ=5+2

5

 sin（θ+∅），cos∅=

2

5

，sin∅=

1

5

，
∴5-2

5

≤x+2y≤5+2

5

，∴u的取值范圍為[25-2

5

，25+2

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的參數(shù)方程，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，兩個(gè)向量的數(shù)量積，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題