精英家教網如圖所示，已知點G是△ABO的重心．
（1）求
GA
+
GB
+
GO
；
（2）若PQ過△ABO的重心G，且
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OP
=m
a
，
OQ
=n
b
，求證：
1
m
+
1
n
=3．
分析：（1）利用向量的線性運算，結合點G是△ABO的重心，即可得到結論；
（2）由于P，G，Q三點共線，利用向量共線定理，可得存在實數(shù)λ使得
PG
=λ
GQ
，利用平面向量基本定理，可得方程組，消去λ，即可得到結論．
解答：（1）解：∵M為AB中點，∴
GM
=
1
2
（
GA
+
GB
）．
又G為△ABO的重心，∴
GM
=
1
2
OG
，
∴
GA
+
GB
+
GO
=2
GM
-2
GM
=
0
．
（2）證明：由
OM
=
1
2
（a+b）得，
OG
=
2
3
OM
=
1
3
（a+b）．
由于P，G，Q三點共線，∴存在實數(shù)λ使得
PG
=λ
GQ
．
而
PG
=
OG
-
OP
=（
1
3
-m）a+
1
3
b，
GQ
=
OQ
-
OG
=-
1
3
a+（n-
1
3
）b，
則（
1
3
-m）a+
1
3
b=λ[-
1
3
a+（n-
1
3
）b]，
∴
1
3
-m=-
1
3
λ
1
3
=λ(n-
1
3
)
，消去λ整理得
1
m
+
1
n
=3．
點評：本題考查向量知識的運用，考查向量共線定理、考查平面向量基本定理，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知圓M：（x+1）2+y2=8及定點N（1，0），點P是圓M上一動點，點Q為PN的中點，PM上一點G滿足
GQ
•
NP
=0
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+m與曲線C交于A、B兩點，E（0，1），是否存在直線l，使得點N恰為△ABE的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（2）求證：平面A1GH∥平面BED1F．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
xy
x+y
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年上海市徐匯區(qū)高三上學期期末考試（一模）理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點，且，則的值為          .

 

 

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