Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，
（Ⅰ）求直線DE與面PBC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取PC的中點N，連接DN，EN，由題意可得：PD⊥BC，所以得到BC⊥面PDC，即面PBC⊥面PDC，所以DN⊥面PBC，所以∠DEN為直線DE與面PBC所成的角，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識求出答案．
（Ⅱ）過D作DM⊥BF，交BF的延長線于M，連接PM，結(jié)合題意可得：∠PMD為二面角P-BF-D的平面角，再利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角的正切值即可．
解答：解：（Ⅰ）取PC的中點N，連接DN，EN，
∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥BC，
又由題意有BC⊥DC，
∴BC⊥面PDC，
∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC可得DN⊥PC，
∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN為直線DE與面PBC所成的角，…（4分）
由題意，
所以．…（7分）
（Ⅱ）過D作DM⊥BF，交BF的延長線于M，連接PM，
∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD內(nèi)的射影為DM，
∴PM⊥BF，
所以∠PMD為二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF與Rt△BAF相似，
所以
所以…（13分）
點評：本題主要考查線面角與面面角，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用有關(guān)的定理找到所求的角，再利用解三角形的知識解決問題即可．