設(shè)定函數(shù)f（x）=
a
3
x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的兩個根分別為1，4．
（Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線y=f（x）過原點時，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）無極值點，求a的取值范圍．
由得f′（x）=ax2+2bx+c
因為f′（x）-9x=ax2+2bx+c-9x=0的兩個根分別為1，4，所以
a+2b+c-9=0
16a+8b+c-36=0
（*）
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，又由（*）式得
2b+c-6=0
8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因為曲線y=f（x）過原點，所以d=0
故f（x）=x3-3x2+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=
a
3
x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）內(nèi)無極值點”等價于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）2-4ac=9（a-1）（a-9）
解
a＞0
△=9(a-1)(a-9)≤0
得a∈[1，9]
即a的取值范圍[1，9]
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相關(guān)習(xí)題

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函數(shù)f（x）=exlnx在點（1，f（1））處的切線方程是（　�。�
A．y=2e（x-1）B．y=ex-1C．y=e（x-1）D．y=x-e

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若點P是曲線y=x2-lnx上一點，且在點P處的切線與直線y=x-2平行，則點P的橫坐標(biāo)為______．

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已知函數(shù)f（x）=
1
2
ax2+2lnx，曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4．
（1）求a的值及切線方程；
（2）點P（x，y）為曲線y=f′（x）上一點，求y-x的最小值．

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已知函數(shù)y=xlnx
（1）求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
（2）求這個函數(shù)的圖象在點x=1處的切線方程．

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方程x3-3x-m=0有且只有兩個不同的實根，則實數(shù)m=______．

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如圖為函數(shù)f（x）=
x
（0＜x＜1）的圖象，其在點M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x3-（2a+2）x2+bx+c，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=x-1，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
x2+2x+a
x
，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=
1
2
時，判斷證明f（x）的單調(diào)性并求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

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