Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AA₁上一點，平面B₁CE⊥平面BCE，AB=BC=1，AA₁=2．
（1）求平面B₁CE與平面B₁BE所成二面角α的大��；（文科只要求求tanα）
（2）求點A到平面B₁CE的距離．

Answer 1

分析：（1）由長方體的幾何特征可得BC⊥平面BB₁E，由面面垂直的判定定理可得平面BB₁E⊥平面BCE，又由平面B₁CE⊥平面BCE，故B₁E⊥平面BCE，則∠BEC就是平面B₁CE與平面B₁BE所成二面角的平面角α．解Rt△CBE可得平面B₁CE與平面B₁BE所成二面角α的大小
（2）利用等體積示，求三棱錐C-AEB₁的體積，解Rt△B₁CE，求出其面積，設(shè)A到平面B₁EC的距離為h，可得答案．

解答：解：（1）∵BC⊥平面BB₁E，
∴平面BB₁E⊥平面BCE，
又平面B₁CE⊥平面BCE，
∴B₁E⊥平面BCE，
∴CE⊥B₁E，BE⊥B₁E
∴∠BEC就是平面B₁CE與平面B₁BE所成二面角的平面角α．
設(shè)∠AEB=β，則∠A₁B₁E=β
∴AE=ABcotβ=cotβ，
A₁E=A₁B₁•tanβ=tanβ
∵AE+EA₁=AA₁=2，
∴cotβ+tanβ=2
解得tanβ=1．即AE=A₁E=1
在Rt△CBE中，BC=1，BE=

2

∴tanα=

1

2

=

2

2

．
∴α=arctan

2

2

（2）在三棱錐C-AEB₁中，S△AEB1=

1

2

×AE•A1B1=

1

2

，CB=1，從而VC-AEB1=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

在Rt△B₁CE中，CE=

BE2+BC2

=

3

，EB1=

2

S△B1EC=

6

2

設(shè)A到平面B₁EC的距離為h，則VA-B1EC=

1

3

•

6

2

•h=

6

6

h
∵VA-B1EC=VC-AEB1，
∴

6

6

h=

1

6

∴h=

6

6

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，點到平面的距離，其中（1）的關(guān)鍵是求出∠BEC就是平面B₁CE與平面B₁BE所成二面角的平面角，（2）中幾何法求點面距離時，往往是采用等體積法．