Question

設(shè)定義域在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1；x∈（0，π）且x≠時(shí)，（x-）f′（x）＜0，則方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的根的個(gè)數(shù)

1. A.
   2
2. B.
   5
3. C.
   4
4. D.
   8

Answer 1

C
分析：由題意x∈（0，π） 當(dāng)x∈（0，π） 且x≠時(shí)，（x-）f′（x）＜0以為分界點(diǎn)進(jìn)行討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的圖形，畫出草圖進(jìn)行求解，即可得到結(jié)論
解答：∵當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[-π，0]時(shí)，0＜f（x）＜1；
又∵f（x）的最小正周期為2π
∴當(dāng)x∈[-2π，2π]時(shí)，0＜f（x）＜1；
∵x∈（0，π）且x≠時(shí)，（x-）f′（x）＜0
∴當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（，π）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
y=f（x）與y=cosx的草圖如下：

∴方程f（x）=cosx在[-2π，2π]上的又4個(gè)根
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的周期性與奇偶性，利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解，會(huì)化難為易