Question

若直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)平行.

（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)與軸不平行的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于不同的兩點(diǎn)的垂直平分線(xiàn)為，求直線(xiàn)在軸上截距的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）直線(xiàn)在軸上的截距的取值范圍為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由得，，且，解得故雙曲線(xiàn)的方程為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依題意可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為由得，，，且設(shè)的中點(diǎn)，則，故直線(xiàn)的方程為，即所以直線(xiàn)在軸上的截距，由，且得，所以.即直線(xiàn)在軸上的截距的取值范圍為

考點(diǎn)：本題主要考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，應(yīng)用“待定系數(shù)法”求得了雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程。研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過(guò)“整體代換”，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，實(shí)現(xiàn)解題目的。（II）中根據(jù)方程組有解，確定得到直線(xiàn)斜率范圍，易于忽視。