Question

設(shè)等腰△OAB的頂點為2θ，高為h．
（1）在△OAB內(nèi)有一動點P，到三邊OA，OB，AB的距離分別為|PD|，|PF|，|PE|，并且滿足關(guān)系|PD|•|PF|=|PE|²，求P點的軌跡．
（2）在上述軌跡中定出點P的坐標，使得|PD|+|PE|=|PF|．

Answer 1

分析：（1）設(shè)OP與正X軸的夾角為α，P的坐標為（x，y），由題意知|OP|=

x2+y2

，|PD|=xsinθ-ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由條件|PD|×|PF|=|PE|²得x²cos²θ-2hx+y²cos²θ+h²=0，由此可知x(x-

h

cos2θ

)2+y2=(h

sinθ

cos2θ

)2，所求軌跡是此圓在所給等腰三角形內(nèi)的一部分．
（2）由題意知x²sin²θ-y²cos²θ=4y²cos²θ，所以5y³cos²θ=x²sin²θ，y=

1

5

tgθ•x，由此入手可以推出所求點P的坐標．

解答：解：（1）設(shè)OP與正X軸的夾角為α，P的坐標為（x，y），
則|OP|=

x2+y2

|PD|=|OP|sin（θ-α）=|OP|（sinθcosα-cosθsinα）=xsinθ-ycosθ
|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ
由條件|PD|×|PF|=|PE|²得x²sin²θ-y²cos²θ=（h-x）²（1）
即x²cos²θ-2hx+y²cos²θ+h²=0
除以cos²θ≠0得x2-

2h

cos2θ

x+y2+

h2

cos2θ

=0
即x(x-

h

cos2θ

)2+y2=(h

sinθ

cos2θ

)2
這是以(

h

cos2θ

，0)為中心，以h

sinθ

cos2θ

為半徑的圓，所求軌跡是此圓在所給等腰三角形內(nèi)的一部分，
注意：在A作直線AE′⊥OA，則OE′=

h

cos2θ

，E′是圓的中心AE′=h

sinθ

cos2θ

是圓的半徑，A是圓上一點，而且圓在A的切線是OA．

（2）由條件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ
即x+ycosθ=h （2）此直線通過（h，0）點及（0，

h

2cosθ

）點，
由（1），（2）得x²sin²θ-y²cos²θ=4y²cos²θ，
∴5y³cos²θ=x²sin²θ，
y=

1

5

tgθ•x
由|PD|+|PE|=|PF|可知y＞0，所以這里右端取正號，
代入（2）得x(1+

2

5

sinθ)=h，
∴x=

h

1+ 2 5 sinθ

=

5 h

5 +2sinθ

，
y=

1

5

•

5 h

5 +2sinθ

tgθ=

htgθ

5 +2sinθ

，
所求點P的坐標為（

5 h

5 +2sinθ

，

htgθ

5 +2sinθ

）．

點評：本題二圓錐曲線知識的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．