Question

已知函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；
（2）設函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）對（2）中的φ（a），證明：當a∈（0，+∞）時，φ（a）≤1．

Answer 1

分析：（1）對f（x），g（x）進行求導，已知在交點處有相同的切線，從而解出a的值及該切線的方程；
（2）由條件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），對h（x）進行求導，分兩種情況進行討論：①a＞0；②a≤0，從而求其最小值φ（a）的解析式；
（3）由（2）知φ（a）=2a（1-ln 2-ln a），對φ（a）進行求導，令φ′（a）=0，求出極值點，及單調(diào)性，求出φ（a）在（0，+∞）上的最大值，從而進行證明；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x

，g（x）=alnx，a∈R．
f′（x）=

1

2 x

，g′（x）=

a

x

（x＞0），
由已知得

x =alnx 1 2 x = a x

解得

a= e 2 x=e2

∴兩條曲線交點的坐標為（e²，e）．
切線的斜率為k=f′（e²）=

1

2e

，
∴切線的方程為y-e=

1

2e

（x-e²）．
（2）由條件知h（x）=

x

-alnx（x＞0），
∴h′（x）=

1

2 x

-

a

x

=

x -2a

2x

，
①當a＞0時，令h′（x）=0，解得x=4a²．
∴當0＜x＜4a²時，h′（x）＜0，
h（x）在（0，4a²）上單調(diào)遞減；
當x＞4a²時，h′（x）＞0，
h（x）在（4a²，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x=4a²是h（x）在（0，+∞）上的惟一極值點，且是極小值點，從而也是h（x）的最小值點．
∴最小值φ（a）=h（4a²）=2a-aln（4a²）=2a[1-ln （2a）]．
②當a≤0時，h′（x）=

x -2a

2x

＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無最小值．
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）=2a[1-ln （2a）]（a＞0）．
（3）證明：由（2）知φ（a）=2a（1-ln 2-ln a），
則φ′（a）=-2ln （2a）．
令φ′（a）=0，解得a=

1

2

．
當0＜a＜

1

2

時，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增；
當a＞

1

2

時，φ′（a）＜0，
∴φ（a）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞減．
∴φ（a）在a=

1

2

處取得極大值φ（

1

2

）=1．
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一個極值點，
∴φ（

1

2

）=1也是φ（a）的最大值．
∴當a∈（0，+∞）時，總有φ（a）≤1．

點評：此題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，第二問和第三問難度比較大，解題的關鍵是能夠對函數(shù)能夠正確求導，此題是一道中檔題；