Question

如圖，三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，，，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面SAC⊥平面ABC；
（2）求二面角N-CM-B的一個(gè)三角函數(shù)值；
（3）求點(diǎn)B到平面CMN的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AC中點(diǎn)O，由勾股定理可得SO⊥BO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得SO⊥AC，從而得到SO⊥平面ABC，平面SAC⊥平面ABC．
（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求得平面CMN的一個(gè)法向量，平面ABC的一個(gè)法向量，可得
=的值，即為所求．
（3）根據(jù)點(diǎn)B到平面CMN的距離即為上射影的絕對值，求得結(jié)果．
解答：解：（1）取AC中點(diǎn)O，連接SO，OB，則SO⊥AC，BO⊥AC，
，，
∵SO²+BO²=20，SB²=20，∴SO²+BO²=SB²，∴SO⊥BO，
又SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，
∵SO?平面SAC，∴平面SAC⊥平面ABC．
（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則A（2，0，0），，C（-2，0，0），，，（6分）
∵=（3，，0），=（-1，0，）．
設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，則
•=，•=，
取，∴=（，-，1），
又=（0，0，2 ）為平面ABC的一個(gè)法向量，
∴==．
由圖知的夾角即為二面角N-CM-B的大小，其余弦值為．
（3）由（2）得=（-1，，0），=（，-，1）為平面CMN的一個(gè)法向量，
∴點(diǎn)B到平面CMN的距離即為上射影的絕對值=．
點(diǎn)評：本題考查證明面面垂直的方法，求二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離，求平面的法向量的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵和易錯(cuò)點(diǎn)．