數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…有如下運算和結(jié)論：
①；
②
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列
④數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為；
⑤若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1＞10，則．
在后面橫線上填寫出所有你認(rèn)為正確運算結(jié)果或結(jié)論的序號    ．
【答案】分析：根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，分母為n時，所對應(yīng)的項數(shù)是（n-1）項．從分母是2開始到分母為n結(jié)束共有項
①前23項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，…，則第23項一目了然．
②易知：前11項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，，再求和便知正誤．
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…實際上是，1，，2，…，再由數(shù)列定義判斷
④數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…實際上是，1，，2，…，先判斷數(shù)列類型，再用求其前n項和．
⑤通過④的前n項和解不等式，確定k的值，從而再判斷終止的項．
解答：解：①前23項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，…
∴，故不正確；
②由數(shù)列可知：前11項構(gòu)成的數(shù)列是：，，，，，，，，，，
∴s11=++++++++++=，故正確；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，
由等差數(shù)列定義（常數(shù)），所以是等差數(shù)列，故不正確．
④∵數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是，1，，2，…．
由③知是等差數(shù)列，所以由等差數(shù)列前n項和公式可知：，故正確；
⑤由④知數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，a11+a12+a13+a14+a15，a16+a17+a18+a19+a20+a21，是，1，，2，
，++…+
∴T5=7.5＜10，T6=10.5＞10，∴，正確．
故答案為：②④⑤
點評：本題主要考查探究數(shù)列的規(guī)律，轉(zhuǎn)化數(shù)列，構(gòu)造數(shù)列來研究相應(yīng)數(shù)列通項和前n項和問題，這種題難度較大，必須從具體到一般地靜心研究，再推廣到一般得到結(jié)論．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1，Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和，Tn表示數(shù)列{an}的前n項的乘積，Tn（k）表示{an}的前n項中除去第k項后剩余的n-1項的乘積，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項an=
1
pn-q
，實數(shù)p，q滿足p＞q＞0且p＞1，sn為數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求證：當(dāng)n≥2時，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2an+bn，求數(shù)列{bn}的通項公式bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若數(shù)列{an}的各項按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
①若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0；
④設(shè)直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號是
③
③
．

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