Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2），等差數(shù)列{b_n}滿足b₆=6，b₉=12，
（1）分別求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若C_n=2a_n×（b_n+6），求數(shù)列{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，利用疊加法求出數(shù)列的通項公式，和利用等差數(shù)列求通項公式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式，然后利用乘公比錯位相減法求數(shù)列的前n項和．

解答： 解：（1）已知數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，且a₁=1，a₂=4，S_n+1=5S_n-4S_n-1（n≥2）①，
利用遞推關(guān)系式：S_n=5S_n-1-4S_n-2②
則：①-②得：a_n+1=5a_n-4a_n-1
所以：

an+1-an

an-an-1

=4（常數(shù)）
a_n-a_n-1是以a₂-a₁為首項，公比是4的等比數(shù)列．
所以：an-an-1=3•4n-1
…
a2-a1=3•40
以上（n-1）個式子相加得：an-a1=3•

(1-4n)

1-4

求得：an=4n
等差數(shù)列{b_n}滿足b₆=6，b₉=12，
則：設(shè)首項為b₁，公差為d，
則：根據(jù)

b6=6 b9=12

解得：b_n=2n-6
（2）由（1）得：cn=2an(bn+6)=n•4n+1
則：T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹③
4Tn=1•43+2•44+…+n•4n+2④
所以：③-④得：(-3)Tn=(42+…+4n+1)-n•4ⁿ⁺²
整理得：Tn=

16(1-4n)

(-3)

•(-

1

3

)+

n4n+2

3

=

16+(3n-1)4n+2

9

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，進(jìn)一步求數(shù)列的通項公式，乘公比錯位相減法的應(yīng)用．屬于中等題型．