Question

已知邊長(zhǎng)為

2

的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角，使D到P的位置．
（1）求直線PA與BC所成的角；
（2）若M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BM：BC為何值時(shí)，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．

Answer 1

分析：（1）取AC中點(diǎn)O，連接PO、OB，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量

PA

與

BC

的夾角求解，注意與直線所成角的關(guān)系；
（2）設(shè)BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），則

BM

=λ

BC

=（-λ，λ，0）），

AM

=

AB

+

BM

=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），可求平面PAM的一個(gè)法向量，易知平面PAC的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0），
由題意知，|cos＜

n

，

m

＞|=

2

2

，利用向量夾角公式可得關(guān)于λ的方程，解出即可；

解答：解：（1）取AC中點(diǎn)O，連接PO、OB，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），A（（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

PA

=（0，-1，-1），

BC

=（-1，1，0），
cos＜

PA

，

BC

＞=

PA • BC

| PA || BC |

=

-1

2 • 2

=-

1

2

，
所以＜

PA

，

BC

＞=120°，直線PA與BC所成的角為60°；
（2）設(shè)BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），則

BM

=λ

BC

=（-λ，λ，0），

AM

=

AB

+

BM

=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PAM的一個(gè)法向量，則

n

⊥

PA

，

n

⊥

AM

，
所以

n • PA =0 n • AM =0

，即

-y-z=0 (1-λ)x+(1+λ)y=0

，取

n

=(

1+λ

1-λ

，-1，1)，
平面PAC的一個(gè)法向量為

m

=（1，0，0），
當(dāng)平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°時(shí)，有|cos＜

n

，

m

＞|=

2

2

，即

n • m

| n || m |

=

1+λ 1-λ

( 1+λ 1-λ )2+2

=

2

2

，
解得λ=3-2

2

，
故當(dāng)BM：BC為3-2

2

時(shí)，平面PAC與平面PAM所成的銳二面角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及其求法、異面直線所成角，考查空間向量的運(yùn)算，考查學(xué)生的推理論證能力．