已知定點(diǎn)F（0，1）和定直線l：y=-1，過定點(diǎn)F與定直線l相切的動圓的圓心為點(diǎn)C
（1）求動圓的圓心C的軌跡W的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是W上的一動點(diǎn)，求PF的中點(diǎn)M的軌跡方程．
（1）設(shè)C（x，y），因?yàn)閳AC定點(diǎn)F與定直線l相切，所以|CF|=|x+1|，即圓心C到定點(diǎn)和直線y=-1的距離相等．
軌跡拋物線的定義可知，C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為x2=2py，其中
p
2
=1，
所以p=2，即拋物線方程為x2=4y．
（2）設(shè)PF的中點(diǎn)M（x，y），P（x1，y1），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
x=
x1
2
y=
y1+1
2
，即
x1=2x
y1=2y-1
，
代入拋物線方程x2=4y，
得（2x）2=4（2y-1），即x2=2y-1，
所以PF的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2=2y-1．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l1：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F在直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求
RP
•
RQ
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)F（0，1）和定直線l：y=-1，過定點(diǎn)F與定直線l相切的動圓的圓心為點(diǎn)C
（1）求動圓的圓心C的軌跡W的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是W上的一動點(diǎn)，求PF的中點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l1：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若A，B是所求軌跡上的兩個點(diǎn)，滿足OA⊥OB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線AB經(jīng)過一個定點(diǎn)．
（3）過點(diǎn)F的直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求
RP
•
RQ
的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：《第2章 圓錐曲線與方程》2010年單元測試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知定點(diǎn)F（0，1）和直線l1：y=-1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動圓圓心為點(diǎn)C．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F在直線l2交軌跡于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求的最小值．

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