已知點(diǎn)P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F2，且
OP
•
OF2
=2，tan∠OPF2=
2
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)N，若
NQ
=2
QM
，求直線l的方程；
（Ⅲ）作直線l1與橢圓D：
x2
a2
+
2y2
b2
=1交于不同的兩點(diǎn)S，T，其中S點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），若點(diǎn)G（0，t）是線段ST垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足
GS
•
GT
=4，求實(shí)數(shù)t的值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PF2⊥OF2，設(shè)r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，由
OP
•
OF2
=2，tan∠OPF2=
c
r
=
2
，求出c=
2
，r=1，再由點(diǎn)P(±
2
，1)在橢圓，求出a2=4，b2=2，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），
NQ
=2
QM
，能求出直線l的方程．
（Ⅲ）由題意知橢圓D：
x2
4
+y2=1，設(shè)直線l1的方程為y=k（x+2），把它代入橢圓D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，利用韋達(dá)定理能求出滿足條件的實(shí)數(shù)t的值．
解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由題意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，
由tan∠OPF2=
2
，得：cos∠POF2=
6
3
，
設(shè)r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，
∵
OP
•
OF2
=2，∴
c2+r2
•c•
6
3
=2，
又，tan∠OPF2=
c
r
=
2
，解得：c=
2
，r=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(±
2
，1)，…（2分）
∵點(diǎn)P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，∴
(±
2
)2
a2
+
1
b2
=1，
又a2-b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1，
由題意知直線l的斜率存在，故設(shè)其斜率為k，
則其方程為y=k（x+1），N（0，k），
設(shè)Q（x1，y1），∵
NQ
=2
QM
，
∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），
∴x1=-
2
3
，y1=
k
3
，…（7分）
又∵Q是橢圓C上的一點(diǎn)，∴
(-
2
3
)2
4
+
(
k
3
)2
2
=1，
解得k=±4，
∴直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）
（Ⅲ）由題意知橢圓D：
x2
4
+y2=1，
由S（-2，0），設(shè)T（x1，y1），
根據(jù)題意可知直線l1的斜率存在，
設(shè)直線斜率為k，則直線l1的方程為y=k（x+2），
把它代入橢圓D的方程，消去y，
整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，
由韋達(dá)定理得-2+x1=-
16k2
1+4k2
，
則x1=
2-8k2
1+4k2
，y1=k（x1+2）=
4k
1+4k2
，
所以線段ST的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-
8k2
1+4k2
，
2k
1+4k2
)，
（1）當(dāng)k=0時(shí)，則有T（2，0），線段ST垂直平分線為y軸，
∴
GS
=(-2，-t)，
GT
=(2，-t)，
由
GS
•
GT
=-4+t2=4，解得：t=±2
2
．…（11分）
（2）當(dāng)k≠0時(shí)，則線段ST垂直平分線的方程為y-
2k
1+4k2 
=-
1
k
（x+
8k2
1+4k2
），
∵點(diǎn)G（0，t）是線段ST垂直平分線的一點(diǎn)，
令x=0，得：t=-
6k
1+4k2
，
∴
GS
=(-2，-t)，
GT
=(x1，y1-t)，
由
GS
•
GT
=-2x1-t(y1-t)=
4(16k4+15k2-1)
(1+4k2)2
=4，解得：k=±
14
7
，
代入t=-
6k
1+4k2
，解得：t=±
2
14
5
，
綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)t的值為t=±2
2
或t=±
2
14
5
．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中：
①若2b=a+c，則a，b，c成等差數(shù)列；
②若b2=ac，則a，b，c成等比數(shù)列；
③若{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列{2an}為等比數(shù)列；
④常數(shù)列既是等比數(shù)列，又是等差數(shù)列．
其中，正確說法的是
 
 （把你認(rèn)為正確的條件序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)任意實(shí)數(shù)a、b、c，給出下列命題，其中真命題的是（　�。�
A、“a=b”是“ac=bc”的充要條件
B、“a+
5
是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件
C、“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件
D、“a＜5”是“a＜3”的必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四邊形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y=x2上，A、C點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，BD平行于拋物線在點(diǎn)C處的切線．
（1）證明：AC平分∠BAD．
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1），S四邊形ABCD=4，求直線BD的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（-1，0）和F（1，0），圓E是以E為圓心，半徑為2
2
的圓，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程T；
（Ⅱ）已知M，N是曲線T上的兩點(diǎn)，若曲線T上存在點(diǎn)P，滿足
OM
+
ON
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=tx-t-lnx（t＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，證明：
1
ln2
+
1
ln3
…+
1
lnn
＞lnn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它們?cè)趚=0處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）判斷函數(shù)F（x）=2f（x）-g（x）+2零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x+5y≤60，5x+3y≤40，x∈N，y∈N，求Z=200x+150y的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)M（0，2），且在x軸上截得弦長(zhǎng)為4．設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C方程；
（Ⅱ）點(diǎn)A為直線l：x-y-2=0上任意一點(diǎn)，過A作曲線C的切線，切點(diǎn)分別為P、Q，△APQ面積的最小值及此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案