Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函數f（x）的振幅、周期、初相；
（2）畫出函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]內的圖象．
（3）說明f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，結合除冪公式（二倍角公式逆用）及和差角公式，可將函數的解析式化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據振幅為A，周期T=

2π

ω

，初相為φ，可得答案．
（2）分別令x=0，

π

8

，

3π

8

，

5π

8

，

7π

8

，π，根據（1）中函數解析式求出函數值，描點點線可得函數y=f（x）在區(qū)間[0，π]內的圖象．
（3）根據（1）中函數解析式及平移前函數解析式y(tǒng)=sinx，分析A，ω及φ的關鍵，結合y=Asin（ωx+φ）圖象變換法則可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1
∴f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
即函數f（x）的振幅為

2

；周期為 π；初相為-

π

4

（2）列表，圖象如下圖示

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	- π 4	0	π 2	π	3π 2	7π 4
f（x）	-1	0	2	0	- 2	-1

（3）把y=sinx圖象上所有點向右平移

π

4

個單位得到y=sin(x-

π

4

)的圖象
再把y=sin(x-

π

4

)的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的

1

2

倍（縱坐標不變）得到y=sin(2x-

π

4

)的圖象
最后把y=sin(2x-

π

4

)的圖象上所有點的縱坐標伸長為原來的

2

倍（橫坐標不變）即得y=

2

sin(2x-

π

4

)的圖象

點評：本題考查的知識點是y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義，五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，是正弦函數圖象和性質的綜合應用，難度中等．