Question

如圖，已知橢圓C：與拋物線E：y²=4x有一個(gè)公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點(diǎn)為O，Q，與橢圓c的交點(diǎn)為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）．
由點(diǎn)P在拋物線y²=4x上，所以P（，）．
又點(diǎn)P在橢圓C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b==，從而橢圓C的方程為 （5分）
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得，消去y可得3x²+4k²x²=12，∴．（7分）
聯(lián)立直線與拋物線得，消去y可得k²x²=4x，解得x=0或x= （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N為線段OQ的中點(diǎn)，∴=，
化簡得3k⁴-4k²-3=0，解得k²=（負(fù)值舍去），故滿足題意的k值有2個(gè)．
從而存在過原點(diǎn)O的兩條直線l滿足題意．（12分）
分析：（1）確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓C上，求得a的值，根據(jù)c=1，b=，即可求得橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可求M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線，可求Q的坐標(biāo)，根據(jù)|MO|=|NQ|，可得N為線段OQ的中點(diǎn)，從而可建立方程，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．