Question

若函數f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A．[0，

  1

  3

  )
• B．[

  1

  2

  ，+∞)
• C．（0，1）
• D．(0，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：根據函數f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，求出x∈（-1，0）時，f（x）的解析式，由在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，
轉化為兩函數圖象的交點，利用圖象直接的結論．

解答：解：函數f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）時，f（x）+1=

1

f(x+1)

=

1

x+1

，f（x）=

1

x+1

-1．
因為g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，
所以y=f（x）與y=mx+m的圖象有兩個交點，
函數圖象如圖所示，由圖象可得，當0＜m≤

1

2

時，兩函數有兩個交點，
故選 D．

點評：此題是個中檔題．本題考查了利用函數零點的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數解析式，體現了轉化的思想，以及利用函數圖象解決問題的能力，體現了數形結合的思想．也考查了學生創(chuàng)造性分析解決問題的能力，屬于中檔題．