【題目】(2017·衢州調(diào)研)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中點(diǎn)M是頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影,N是PC的中點(diǎn).
(1)求證:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)菱形性質(zhì)得MB⊥BC,再根據(jù)射影定義得PM⊥平面ABCD ,即得PM⊥BC ,由線面垂直判定定理得BC⊥平面PMB,最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論,(2)先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)方程組解平面PMC法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角,最后根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.
試題解析: (1)證明 ∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=120°,
且M是AD的中點(diǎn),∴MB⊥AD,∴MB⊥BC.
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中點(diǎn),
∴PM⊥平面ABCD,
又∵BC平面ABCD,∴PM⊥BC,
而PM∩MB=M,PM,MB平面PMB,
∴BC⊥平面PMB,又BC平面PBC,
∴平面MPB⊥平面PBC.
(2)解 法一 過點(diǎn)B作BH⊥MC,連接HN,
∵PM⊥平面ABCD,BH平面ABCD,∴BH⊥PM,
又∵PM,MC平面PMC,PM∩MC=M,
∴BH⊥平面PMC,
∴HN為直線BN在平面PMC上的射影,
∴∠BNH為直線BN與平面PMC所成的角,
在菱形ABCD中,設(shè)AB=2a,則MB=AB·sin 60°=a,
MC==a.
又由(1)知MB⊥BC,
∴在△MBC中,BH==a,
由(1)知BC⊥平面PMB,PB平面PMB,
∴PB⊥BC,∴BN=PC=a,
∴sin∠BNH===.
法二 由(1)知MA,MB,MP兩兩互相垂直,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),以MA,MB,MP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz,不妨設(shè)MA=1,
則M(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),C(-2,,0),
∵N是PC的中點(diǎn),∴N,
設(shè)平面PMC的法向量為n=(x0,y0,z0),
又∵=(0,0,),=(-2,,0),
∴即
令y0=1,則n=,|n|=,
又∵=,||=,
|cos〈,n〉|==.
所以,直線BN與平面PMC所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是1,2兩組各7名同學(xué)體重(單位:kg)數(shù)據(jù)的莖葉圖.設(shè)1,2兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為1和2,標(biāo)準(zhǔn)差依次為s1和s2,那么( )
(注:標(biāo)準(zhǔn)差,其中為x1,x2,…,xn的平均數(shù))
A.1>2,s1>s2
B.1>2,s1<s2
C.1<2,s1<s2
D.1<2,s1>s2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)等比數(shù)列a1,a2,a3,a4的公比為q,等差數(shù)列b1,b2,b3,b4的公差為d,且.記(i1,2,3,4).
(1)求證:數(shù)列不是等差數(shù)列;
(2)設(shè), .若數(shù)列是等比數(shù)列,求b2關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(3)數(shù)列能否為等比數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級(jí)參加期末考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生,并統(tǒng)計(jì)了他們的數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分為100分),將數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分組,并根據(jù)各組人數(shù)制成如下頻率分布表:
(1)寫出的值,并估計(jì)本次考試全年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)現(xiàn)從成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的學(xué)生中任選出兩名同學(xué),從成績(jī)?cè)?/span>內(nèi)的學(xué)生中任選一名同學(xué),共三名同學(xué)參加學(xué)習(xí)習(xí)慣問卷調(diào)查活動(dòng).若同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?3分,同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>分,求兩同學(xué)恰好都被選出的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體的棱長(zhǎng)為2,、分別為棱、上的點(diǎn),且與頂點(diǎn)不重合.
(1)若直線與相交于點(diǎn),求證:、、三點(diǎn)共線;
(2)若、分別為、的中點(diǎn).
(ⅰ)求證:幾何體為棱臺(tái);
(ⅱ)求棱臺(tái)的體積.
(附:棱臺(tái)的體積公式,其中、分別為棱臺(tái)上下底面積,為棱臺(tái)的高)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),是拋物線上異于的兩點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)若直線的斜率之積為,求證:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某音樂院校舉行“校園之星”評(píng)選活動(dòng),評(píng)委由本校全體學(xué)生組成,對(duì)兩位選手,隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生的評(píng)分,得到下面的莖葉圖:
所得分?jǐn)?shù) | 低于60分 | 60分到79分 | 不低于80分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 復(fù)賽待選 | 直接晉級(jí) |
(1)通過莖葉圖比較兩位選手所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,得出結(jié)論即可);
(2)舉辦方將會(huì)根據(jù)評(píng)分結(jié)果對(duì)選手進(jìn)行三向分流,根據(jù)所得分?jǐn)?shù),估計(jì)兩位選手中哪位選手直接晉級(jí)的概率更大,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知方程(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0與點(diǎn)P(-2,2).
(1)證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ,該方程都表示直線,且這些直線都經(jīng)過同一定點(diǎn),并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)證明:該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離d小于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校某班在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,全班N名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下,已知分?jǐn)?shù)在110~120的學(xué)生有14人.
(1)求總?cè)藬?shù)N和分?jǐn)?shù)在120~125的人數(shù)n;
(2)利用頻率分布直方圖,估算該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)各是多少?
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