已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為a，求平面A₁BC₁和平面ACD₁的距離．

已知：四面體ABCD的各棱長都為a，E是AD邊的中點，連結(jié)CE．求：CE與底面BCD所成的角的正弦值．

如下圖，線段兩端點在平面α的同側(cè)，斜線AM、BN與α分別成30°、60°角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝，AB＝6．

(1)求證：AB∥α；

(2)求MN的長．

已知Rt△ABC的斜邊AB在平面α內(nèi)，AC和BC與α所成的角分別為30°、45°，CD是斜邊AB上的高，求CD與平面α所成的角．

在棱長為a的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱AB、BC的中點，若點M為棱B₁B上的一點，當(dāng)的值為多少時，能使D₁M⊥平面EFB₁？并給出證明．

如下圖所示，已知正方形ABCD的邊長是13，平面ABCD外一點P到正方形各頂點的距離都為13，M，N分別是PA，BD上的點，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8．

(1)求證直線MN∥平面PBC；

(2)求線段MN的長．

有一塊木料如下圖所示，已知棱BC平行于平面．要經(jīng)過木料表面內(nèi)的一點P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？所畫的線和平面AC有什么關(guān)系？

如下圖，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長為2，點E、F分別是棱CC₁、BB₁上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2．

問當(dāng)點M在何位置時，MB∥平面AEF？請給出證明．

如下圖所示，A是△BCD所在平面外一點，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，若BD＝a．求線段MN的長．

長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁(如下圖所示)，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一甲殼蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C₁來獲取食物，試畫出它的最短爬行路線，并求其路程的最小值．