如圖，正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分別是CC₁、B₁C₁、D₁C₁的中點．

求證：(1)AP⊥MN．

(2)平面PMN∥平面A₁BD．

在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a且PA⊥面ABCD，PD與底面成30°角，AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD．

正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面邊長為a，在側(cè)棱BB₁上截取BD＝，在側(cè)棱CC₁上截取CE＝a，過A、D、E作棱柱的截面．求證：截面ADE⊥側(cè)面ACC₁A₁．

如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥平面ABC．求證：OD∥平面PAB．

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC₁＝4，點E在線段BB₁上，且EB₁＝1，D、F、G分別為CC₁、C₁B₁、C₁A₁的中點．

求證：

(1)B₁D⊥平面ABD．

(2)平面EGF∥平面ABD．

過拋物線y＝ax²(a＞0)的頂點O作兩條互相垂直的弦OP和OQ，求證：直線PQ恒過一個定點．

已知點P(x₀，y₀)在曲線f(x，y)＝0上，P也在曲線g(x，y)＝0上，求證：P在曲線f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．

證明圓心為P(a，b)，半徑等于r的圓的方程是(x－a)²＋(y－b)²＝r²．

試證：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有一個正根和一個負根的充要條件是ac＜0．

證明是無理數(shù)．