設(shè)a₁＝2i－j＋k，a₂＝i＋3j－2k，a₃＝－2i＋j－3k，a₄＝3i＋2j＋5k，試問是否存在實(shí)數(shù)λ、μ、v，使a₄＝λa₁＋μa₂＋va₃成立？如果存在，求出λ、μ、v；如果不存在，請(qǐng)給出證明．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD．且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．

(1)求證：PB⊥DM；

(2)求CD與平面ADMN所成的角．

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP＝m．

(1)試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3；

(2)在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論．

如圖α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點(diǎn)A在直線l上的射影為A₁，點(diǎn)B在l上的射影為B₁，已知AB＝2，AA₁＝1，BB₁＝，求：

(1)直線AB分別與平面α，β所成角的大��；

(2)二面角A₁－AB－B₁的大小．

如圖，已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝4，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為直線CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)＝λ．

(1)當(dāng)λ＝3時(shí)，求EF與平面ABCD所成的角；

(2)當(dāng)λ＝1時(shí)，求二面角F－DE－C的大小(用反三角函數(shù)表示)；

(3)當(dāng)λ為何值時(shí)，有BD₁⊥EF？

已知：如下圖△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PC⊥面ABC，且PC＝2，D是AP上一動(dòng)點(diǎn)，

(1)D在運(yùn)動(dòng)過程中，是否有可能使得AP⊥面BCD？請(qǐng)說明理由；

(2)若D是AP的中點(diǎn)，求：

①異面直線CD與PB所成的角；

②直線BD與面PBC所成的角．

如下圖，已知三棱錐P－ABC在某個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，＝(，m，0)，＝(0，2m，0)，＝(0，0，2n)．

(1)畫出這個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并指出與Ox的軸的正方向的夾角；

(2)求證：⊥；

(3)若M為BC的中點(diǎn)，n＝m，求直線AM與平面PBC所成角的大�。�

如圖所示的正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁∶AB＝2∶1，E、F分別為面A₁C₁和面BC₁的中心．求

(1)異面直線CE與AF所成的角；

(2)A₁F與平面BCC₁B₁所成的角；

(3)二面角B－A₁C₁－C的大�。�

已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中平面AB₁D₁與A₁BD所成的角為(0°≤≤90°)，求cos的值．

如下圖，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，

(1)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值；

(2)求SC與平面ABCD所成的角的余弦值．