已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}(n∈N⁺)的公比為q(q≠1)，有如下真命題：若，則(其中n₁、n₂、p為正整數(shù))．

(1)若，試探究與a_p、q之間有何等量關系，并給予證明；

(2)對(1)中探究得出的結論進行推廣，寫出一個真命題，并給予證明．

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：

a₁＝λ，其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．

(Ⅰ)對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；

(Ⅱ)對于給定的實數(shù)λ，試求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；

(Ⅲ)設0＜a＜b，是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知無窮等比數(shù)列{a_n}的首項、公比均為．

(1)試求無窮等比子數(shù)列{a_3k－1}(k∈N^*)各項的和；

(2)是否存在數(shù)列{a_n}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；

(3)試設計一個數(shù)學問題，研究：是否存在數(shù)列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

觀察數(shù)列：

①1，－1，1，－1…；

②正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構成的數(shù)列1，2，3，0，1，2，3，0，…；

③

(1)對以上這些數(shù)列所共有的周期特征，請你類比周期函數(shù)的定義，為這類數(shù)列下一個周期數(shù)列的定義：對于數(shù)列{a_n}，如果________，對于一切正整數(shù)n都滿足________成立，則稱數(shù)列{a_n}是以T為周期的周期數(shù)列；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a_n+2＝a_n+1－a_n，n∈N⁺，S_n為{a_n}的前n項和，且S₂＝2008，S₃＝2010，證明{a_n}為周期數(shù)列，并求S₂₀₀₈；

(3)若數(shù)列{a_n}的首項，且a_n+1＝2a_n(1－a_n)，n∈N^*，判斷數(shù)列{a_n}是否為周期數(shù)列，并證明你的結論．

設正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，S_n是和a_n的等差中項．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)在集合M＝{m|m＝2k，k∈Z，且1000≤k＜1500中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式對一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；

(3)請構造一個與數(shù)列{S_n}有關的數(shù)列{u_n}，使得存在，并求出這個極限值．

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，點都在函數(shù)的圖象上．

(1)求a₁，a₂，a₃的值，并求通項a_n；

(2)將數(shù)列{a_n}依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分別計算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數(shù)列為{b_n}，求b₅＋b₁₀₀的值；

(3)設A_n為數(shù)列的前n項積，是否存在實數(shù)a，使得不等式對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

已知函數(shù)f(x)＝－lnx，x∈(0，e)，曲線y＝f(x)在點(t，f(t))處的切線與x軸和y軸分別交于A、B兩點，設O為坐標原點，求△AOB面積的最大值．

設數(shù)列{a_n}的首項a₁＝1，前n項和S_n滿足關系式tS_n－(t＋1)S_n－1＝t(其中t為大于0的常數(shù)，n∈N^*，n≥2)．

(1)求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；

(2)設數(shù)列{a_n}的公比為f(t)，構造數(shù)列{b_n}，使b₁＝1，(n∈N^*，n≥2)，求數(shù)列{b_n}的通項公式

如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

(1)證明：AB⊥平面VAD；

(2)求平面VAD與平面VDB所成的二面角的大小．

已知函數(shù)f(x)＝x－ln(x＋m)在定義域內(nèi)連續(xù)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)當m為何值時，f(x)≥0恒成立？