設數列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足2S_n＝＋n，a_n＞0(n∈N*)

(Ⅰ)求a₁，a₂，a₃

(Ⅱ)猜想{a_n}的通項公式，并加以證明；

(Ⅲ)設，求證：

如下圖，已知四棱錐P―ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分別是BC，PC的中點．

(Ⅰ)證明：AE⊥PD；

(Ⅱ)若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E－AF－C的余弦值．

設a和b分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量表示函數f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c的極值點的個數．

(Ⅰ)求函數f(x)有極值的概率；

(Ⅱ)求的分布列和數學期望；

(Ⅲ)求在先后兩次出現的點數中有5的條件下，函數f(x)有極值的概率．

已知函數f(x)＝ax＋lnx，x∈(1，e)，且f(x)有極值．

(1)求實數a的取值范圍：

(2)求函數f(x)的值域；

(3)函數g(x)＝x³－x－2，證明：，使得g(x₀)＝f(x₁)成立．

已知點P(4，4)，圓C：(x－m)²＋y²＝5(m＜3)與橢圓E：(a＞b＞0)有一個公共點A(3，1)，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切．

(Ⅰ)求m的值與橢圓E的方程；

(Ⅱ)設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

{a_n}是首項a₁＝4的等比數列，其前n項和為S_n，且S₃，S₂，S₄成等差數列．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)若b_n＝log₂|a_n|(n≥1，n∈N)，設T_n為數列的前n項和，求證：T_n＜．

如圖，△ABC與△ABP是邊長為1的正三角形，F為PC中點，且PO⊥OC，OE⊥PB．

(1)求證：平面POC⊥平面ABC

(2)求證：PC⊥平面ABF

(3)求三棱錐E－OCF的體積；

2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮．現

有6個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數量如下表：

從中隨機地選取3只．

(Ⅰ)求選取的3只全是妮妮的概率：

(Ⅱ)若選取到奧運會吉祥物歡歡得3分，選取到奧運吉祥物迎迎的2分，選取到奧運吉樣物妮妮的1分，求最后得分為5分的概率．

設函數f(x)＝．

(1)當a＝－5時，求函數f(x)的定義域；

(2)若函數f(x)的定義域為R，試求a的取值范圍．

(1)將極坐標方程化為普通方程；

(2)若點P(x，y)在該圓上，x＋y的最大值和最小值．